اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻓﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ

اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻓﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ :
ﺗﻌﺮﯾﻒ 1 :
a و b ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن .
- اﻟﻘﻮل أن  a أﻛﺒﺮ ﻣﻦ  b أو ﯾﺴﺎوﯾﮫ ﻣﻌﻨﺎه  b-a ﻋﺪد ﻣﻮﺟﺐ أو ﯾﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ و دﻟﻚ ﻻن اﻟﻌﺪد اﻟﻜﺒﯿﺮ ﻻ ﺗﺘﻐﯿﺮ إﺷﺎرﺗﮫ إن أﻧﻘﺼﻨﺎ
ﻣﻨﮫ ﻋﺪد ﺻﻐﯿﺮ و ﻧﻜﺘﺐ b ≤ a  ﻣﻌﻨﺎه b) – (a ∈ R+ .
اﻟﻘﻮل أن  a أﺻﻐﺮ ﻣﻦ  b أو ﯾﺴﺎوﯾﮫ ﻣﻌﻨﺎه أن  b -a ﻋﺪد ﺳﺎﻟﺐ و دﻟﻚ ﻻن أي ﻋﺪد ﻧﻨﻘﺺ ﻣﻨﮫ ﻋﺪد اﻛﺒﺮ ﻣﻨﮫ ﺗﺆول إﺷﺎرة ھﺪا اﻟﻌﺪد
إﻟﻰ اﻹﺷﺎرة اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ .
وﻧﻜﺘﺐ b ≥a ﻣﻌﻨﺎه b- a ∈ R- .
ﺗﻌﺮﯾﻒ 2 :
ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻋﺪدﯾﻦ  a و  b ﻣﻌﻨﺎه اﻟﺘﺼﺮﯾﺢ ﺑﺼﺤﺔ إﺣﺪى اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺜﻼث اﻵﺗﯿﺔ :
b.> a
.  b < a
.  b = a
ﺧﺎﺻﯿﺔ: ﻣﻦ أﺟﻞ ﻛﻞ أﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ a، b، c : إذا ﻛﺎن  } c ≥ b  و b ≥ a { ﻓﺎن  c ≥ a
اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ و اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت:
اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ و اﻟﺠﻤﻊ :
ﺧﺎﺻﯿﺔ:  ﻣﻦ أﺟﻞ ﻛﻞ أﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ  a، b، c : إذا ﻛﺎن  b ≥ a ﻓﺎن  c+b ≥ c+a .
ﺧﺎﺻﯿﺔ: ﻣﻦ أﺟﻞ ﻛﻞ أﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ a ، b، c، d : إذا ﻛﺎن  } b ≥ a  و d ≥ c { ﻓﺎن  d+b ≥ c+a
اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ و اﻟﻀﺮب :
ﺧﺎﺻﯿﺔ :  a ، b ، c ، أﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ: ﻣﻦ أﺟﻞ 0> c . ﻟﺪﯾﻨﺎ  b ≥ a ﯾﻜﺎﻓﺊ  bc ≥ ac
ﻣﻦ أﺟﻞ 0< c . ﻟﺪﯾﻨﺎ b ≥ a ﯾﻜﺎﻓﺊ  bc ≤ ac
ﺧﺎﺻﯿﺔ  : ﻣﻦ أﺟﻞ ﻛﻞ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ a  و b  و c  و d  :
إذا ﻛﺎن  b ≥a و d ≥c ﻓﺎن bd ≥ac
اﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ :
ﺧﺎﺻﯿﺔ : a  و b  ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن .
-  ﻣﻦ أﺟﻞ  0 ≥ a  و  0 ≥ b  ﻟﺪﯾﻨﺎ b ≥ a ﯾﻜﺎﻓﺊ  b² ≥ a²
-ﻣﻦ أﺟﻞ 0 ≤ a و 0 ≤ b ﻟﺪﯾﻨﺎb ≥ a ﯾﻜﺎﻓﺊ b² ≤ a²
ﺧﺎﺻﯿﺔ: a  و b  ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﻣﻮﺟﺒﺎن ﻟﺪﯾﻨﺎ :  b ≥ a ﯾﻜﺎﻓﺊ
ﺧﺎﺻﯿﺔ: a  و b  ﻋﺪدان ﻏﯿﺮ ﻣﻌﺪوﻣﯿﻦ وﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻹﺷﺎرة ﻟﺪﯾﻨﺎ : b ≥ a ﯾﻜﺎﻓﺊ
ﺧﺎﺻﯿﺔ:a  ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﻟﺪﯾﻨﺎ :
إذا ﻛﺎن  1 ≤ a ≥ 0  ﻓﺎن a ≥ a² ≥ a³
إذا ﻛﺎن  1 ≥ a  ﻓﺎن a ≤ a² ≤ a³